投资理财¶

还款方式¶

我们会计算下面这些不同的还款方式的金额差异, 以如下条件为前提:

贷款总额: a 返还月数: n 月利率: R 总还款额: S

指的是 n 个月过后**一次性**返还所有本金和利息. 这个最终返还的金额最容易计算:

S = a(1 + nR)

在到期还本付息这种方式中, 利息的计算有可能采用按月复利, 什么意思呢, 就是每个月都计算到这个月为止产生的利息, 然后下个月的利息是上个月的本金+利息的和来计算, 这样的话 n 个月过后还款总额就是如下:

S = a(1+R)^n

我们知道复利, 利滚利还很可怕的, 这种方式还款会使得还款金额最大化.

每个月返还相同的本金, 以及这个月所欠的本金产生的利息. 可想而知前期由于未还的本金比较多, 所有利息也会比较多, 后期因为未还的本金越来越少, 所以后期利息会越来越少.

不难得出, 第一, 二, 三个月的还款额分别如下:

S1 = a/n + aR S2 = a/n + (a - a/n)R S3 = a/n + (a - 2a/n)R ...

依次类推, 到第 n 个月时, 还款额应为:

Sn = a/n + (a - (n-1)a/n)R

将上面的式子累加就是总的还款额:

S = a + naR - aR(1 + 2 + ... + (n-1))/n

= a(1 + nR) - aRn(n-1)/2n = a(1 + (n+1)R/2)

等额本息是需要我们计算出一个固定的金额 x, 要求是每个月都还款 x, n 个月还清所有贷款. 和等额本金方式一样, 等额本息方式中每月还款额 x 中同样也包含了本金和利息, 只是比例不同. 每月还款 x 时, x 中包含的利息的计算方法也是这个月还欠的本金所产生的利息.

这里我们不能像计算等额本金总还款额那样, 用每个月还款金额累加来达到总还款金额这层关系, 因为这里每月还款金额是固定的 x, 显然还款总额 S = nx, 但我们需要求出 x 的值才行.

这里存在另一层关系, 我们可以计算每个月还款后剩余的未还本金是多少, 不难得出:

第 1 月
- 利息: \(aR\)
- 所还本金: \(x - aR\)
- 剩余未还本金: \(a - (x-aR) = a(1+R) - x\)
第 2 月
- 利息: \([a(1+R)-x]R\)
- 所还本金: \(x - [a(1+R)-x]R\)
- 剩余未还本金: \(a - (x - aR) - {x - [a(1+R)-x]R} = a(1+R)^2 - x[(1+R) + 1]\)
第 3 月
- 利息: \([a(1+R)^2 - x(1+R) - x]R\)
- 所还本金: \(x - [a(1+R)^2 - x(1+R) - x]R\)
- 剩余未还本金: \(a - (x - aR) - {x - [a(1+R)-x]R} - {x - [a(1+R)^2 - x(1+R) - x]R} = a(1+R)^3 - x[(1+R)^2 + (1+R) + 1]\)

依次类推, 我们能得到:

第 n 月
- 利息: \({a(1+R)^{n-1} - x[(1+R)^{n-2} + (1+R)^{n-3} + ... + (1+R) + 1]}R\)
- 所还本金: <省略>
- 剩余未还本金: \(a(1+R)^n - x[(1+R)^{n-1} + (1+R)^{n-2} + ... + (1+R) + 1]\)

这里的关系就是, 第n个月时, 剩余未还本金应当是 0, 也就是

\[a(1+R)^n - x[(1+R)^{n-1} + (1+R)^{n-2} + ... + (1+R) + 1] = 0\]

这里涉及的是关于 x 的一元一次方程, 以及关于 (1+R) 的等比数列求和, 最终我们解得:

\[x = aR(1+R)^n/[(1+R)^n-1]\]

等额本息的详细定义可以参考 MBA 百科链接.

总的还款额一般是等额本息比等额本金要高一些, 所以等额本息是公认的堆贷款方更有利的出借方式.

在 P2P 理财中, 我们作为出借方, 如果没有到期还本付息这种方式的项目的话, 我们可以尽量选一些采用等额本息方式还款的项目.